Abstract
Abstract
In this paper it was proposed to use the PSO algorithm to estimate the time interval of the Cox process. The results of the proposed method of estimation were compared with the maximum likelihood estimator of estimating the rate of occurrence. The research included a realistic application in which the successive operating periods between two consecutive stops of the raw material mill in per day (from the General Company for Northern Cement / Cement Badush new plant) during the period from 1/4/2018 to 31/1/2019. The average time for machine operating periods was estimated by the methods proposed for use in the research,
Main Subjects
Highlights
By using the homogeneity test for the Cox process for the operating periods of the raw materials mill of the new Badush cement plant, it was noted that the process is not homogeneous.
It was concluded that the estimation of the parameters of the Cox process by the intelligent method represented by the (PSO) method is better than the traditional method represented by the method of greatest possibility of estimation, because it gave the lowest value for the criterion of the greatest percentage error (MPE) and with the least time and effort.
The values of the parameters α ̂ and β ̂ estimated in the PSO method were obtained in the program prepared for this purpose at repetition (25), which represents a great speed and a short time compared to the greatest possibility method that represents a longer time.
Full Text
تستخدم نماذج عملیة بواسون غیر المتجانسة (NHPP) بشکل رئیسی للتحلیل ونمذجة بیانات الفشل للأنظمة القابلة للإصلاح، وتفترض هذه النماذج أن العملیة النقطیة لدیها زیادات مستقلة وتتوزع توزیع بواسون، ویکون حدوث الحوادث فی عملیة بواسون بصورة عشوائیة ورتیبة خلال فترة زمنیة معینة وبنسبة حدوث ثابتة لکل وحدة زمنیة یرمز لها بالرمز λ، بینما تکون النسبة التی تحدث عندها الحوادث فی عملیة بواسون غیر المتجانسة متغیرة بتغیر الزمن t، وتسمى النسبة عندئذ بالمعدل الزمنی للحدوث (Rate of Occurrence) او یطلق علیها بدالـة الــشِدّه (Intensity Function) ویرمز لها بالرمز . وتعد عملیة کوکس (Cox Process) حالة خاصة من عملیة بواسون غیر المتجانسة والتی تستخدم على نطاق واسع لدراسة وتحلیل بیانات الفشل (الاعطال) المتجمعة مع مرور الزمن [2].
اذا کانت العملیة تمثل عملیة بواسون غیر المتجانسة فان عدد الحوادث التی تحدث ضمن فترة زمنیة تتبع توزیع بواسون بدالة کتلة احتمال :
… (1)
اذ ان تمثل معلمة العملیة (المعدل)، وهی الدالة التراکمیة للمعدل الزمنی للحدوث، وتعرّف بالصیغة الآتیة [6]:
… (2)
اذ ان تمثل المعدل الزمنی للحدوث، وعلیه فان عملیة Cox هی عملیة بواسون غیر متجانسة عندما یکون المعدل الزمنی للحدوث معرّف وفق الصیغة الآتیة [7]:
… (3)
إذ إنّ تمثلان معلمتا المعدل الزمنی لحدوث الحوادث لعملیة Cox، ویمکن تقدیرهما بعدة طرائق، وفی هذا البحث تم تقدیرهما باستخدام طریقتی الإمکان الأعظم وطریقة خوارزمیة PSO.
تعد طریقة الإمکان الأعظم للتقدیر MLE من الطرائق الاکثر استعمالاً فی تقدیر معلمات النماذج التصادفیة لما تتمیز به من خصائص جیدة، منها الثبات وخاصیة المقدر غیر المتحیز بأقل تباین ممکن (Minimum Variance Unbiased estimators)، ویمکن تعریف التقدیر بهذه الطریقة على انه قیم المعلمات التی تجعل دالة الامکان الاعظم للمشاهدات فی نهایتها العظمى. لتکن العملیة تمثل عملیة Cox الموصوفة بالصیغة (3)، فان الدالة الاحتمالیة المشترکة لأزمنة الحدوث بحیث تکون بالشکل التالی [5][3]:
... (4)
وعلیه فان الدالة التراکمیة للمعدل الزمنی للحدوث، والتی تمثل معلمة عملیة Cox والمعرّفة فی الصیغة (2) ستکون بالشکل الآتی:
… (5)
اما دالة الامکان لعملیة Cox للفترة بالمعدل الزمنی تمثل بالصیغة التالیة [5]:
… (6)
عندئذ تصبح الصیغة (6) على النحو الاتی:
… (7)
ومن الصیغة (7) یمکن ایجاد مقدر الامکان الاعظم للمعلمة عندما تکون معلومة کما یأتی:
… (8)
ویمکننا الاستدلال على توزیع المعلمة من خلال التوزیع الشرطی للمتغیر ویکون مشروطاً بعدد الحوادث ، لان المشاهدات الموجودة فی دالة الامکان الاعظم لعملیة Cox لاتأتی الا من و فقط [7]. بالنسبة لمقدر الامکان الاعظم للمعلمة فیتم ایجاد التوزیع الاحتمالی لها والذی یمثل التوزیع الشرطی للمتغیر بـ من الحوادث، کما فی الصیغة التالیة:
… (9)
عندما تکون المعلمة ثابتة ومقیدة بعدد من الحوادث فان دالة الامکان الاعظم الشرطیة للمعلمة فی عملیة Cox یتم تمثیلها على النحو الاتی [4]:
… (10)
عندما فان دالة الکثافة الاحتمالیة فی الفترة الزمنیة تمثل التوزیع المنتظم
(Uniform Distribution)، اما فی حالة عندئذ تکون دالة کثافة الاحتمال ولنفس الفترة الزمنیة والمأخوذة لعینة عشوائیة حجمها من مجتمع تتوزع توزیعاً اسیاً مبتوراً ((Truncated Exponential Distribution، وعادة ماتکون هذه العملیة للإحصاءات المرتبة (Order Statistics). ان دالة کثافة الاحتمال للمتغیر العشوائی فی حالة وجود مشاهدة واحدة فقط للمعدل الزمنی لحدوث الحوادث الموصوف بدالة Cox هی [7]:
… (11)
یمکن من خلال الصیغة (11) ایجاد مقدر الامکان الاعظم للمعلمة کما فی الخطوات الاتیة:
… (12)
عندئذ فأن :
… (13)
یتم ایجاد مشتقة اللوغاریتم لدالة الامکان الاعظم بالنسبة للمعلمة کالاتی:
عندئذ نستنتج الاتی:
… (14)
ان مقدر الامکان الاعظم للمعلمة یمکن ایجاده من خلال حل المعادلة الاتیة:
… (15)
عندما عندئذ نقول انه لا یوجد حل جبری للمعادلة (15)، وعلیه فقد تم استخدام الطرائق العددیة (Numerical Methods) للحصول على عدد من القیم المقدرة للمعلمة . اذ تعتبر طریقة نیوتن (Newton's Method) [10]، احدى الطرائق المستخدمة لحل المعادلات التابعة لطریقة الامکان الاعظم والتی عن طریقها تم الحصول على المقدر بالصیغة الاتیة:
… (16)
تُعّد خوارزمیة (PSO) من الطرائق الذکائیة المهمة فی الوقت الحاضر الذی شهد تطوراً ملحوظاً فی الآونة الاخیرة خصوصاً فی مجال البحث العلمی والتقنیات, ویطلق علیها ایضا اسم خوارزمیة (امثلیة سرب الطیور)، ان هذه الطریقة تم استعمالها بشکل کبیر فی التطبیقات العلمیة والعملیة لما لها فائدة کبیرة جدا والتی تکون اهدافها الحصول على افضل مقدّر للمّعلمات باقل وقت ودقة عالیة، فضلا عن تقدیر مّعلمات النموذج قید الدراسة [11]. فی الفترة الاخیرة کانت هنالک أسالیب کثیرة لتطویر الخوارزمیة والتی تختلف من ناحیة المفهوم عن الطرائق التقلیدیة، اذ یتم وصف تلک الأسالیب بأنها طرائق حدیثة وغیر تقلیدیة للتحسین. ومعظم هذه الأسالیب تستند على صفات وسلوک معینه من الحالات کالبیولوجیة الجزیئیة وسرب من الحشرات والنُظم العصبیة. کما یستند طریقة امثلیة سرب الجسیمات (PSO) على سلوک مستعمرة من الکائنات الحیة، مثل سرب من الحشرات کالنحل والزنابیر والنمل بنوعیه الاسود والأبیض, فضلا عن المجامیع التی تتشکل بهیئة سرب کمجموعة من الاسماک او الطیور. والسبب الذی یعود لتسمیة طریقة (PSO) بهذا الاسم لأنها تعتمد فی عملها على سلوک هذه المستعمرات، اما الجسیم فیشیر مثلاً إلى نحلة فی مستعمرة أو طیر فی سرب الطیور. کل فرد أو جسیم فی السرب یتصرف بطریقة متوزعة باستخدام ذکائه الخاص أو الذکاء الجماعی للسرب. فعلى سبیل المثال إذا اکتشف أحد الجسیمات مساراً جیداً للغذاء، عندئذٍ ستکون بقیة جسیمات السرب أیضاً قادرة على اتباع المسار الجید على الفور حتى لو کان موقعهم بعیداً عن السرب او المجموعة. ان الاسالیب المُتبعة للتحسین المستندة إلى ذکاء السرب والمستوحاة من السلوکیة تُعرف بـمجموعة خوارزمیات بدلاً من الخوارزمیات الجینیة، والتی تسمى بالتطور المُعتمد على الإجراءات [8]. ویفترض أن لکل جسیم فی السرب له صفتان اساسیتان هما: الموقع (position)، والسرعة (velocity)، ویتحرک فی مساحة او فضاء التصمیم (التشکیل) الذی ینضم الیه ویحاول ان یصل الى أفضل موقع (من حیث مصدر الغذاء بالنسبة لسرب الطیور او قیمة دالة الهدف بالنسبة لمسالة ریاضیة معینة) تم اکتشافه. وتقوم الجسیمات بتوصیل المعلومات بالنسبة للمواقع الجیدة لبعضها البعض وتعدیل او تحدیث مواقعها الفردیة وسرعاتها (التی تم اعتبارها سابقة) بناءاً على المعلومات الواردة حول المواقع الجیدة ( التی تم اعتبارها جدیدة). وکمثال على ذلک، یعتبر سلوک الطیور فی منطقة معینة، على الرغم من ان کل طائر لدیه ذکاء محدود فی حد ذاته، فأنه یتبع القواعد البسیطة الاتیة:
وهکذا یقوم سلوک المجموعة او السرب معتمد على مزیج من ثلاثة عوامل:
ویمکن تطویر طریقة خوارزمیة ( PSO ) بالخطوات الاتیة:
1) عندما یُحدد أحد الجسیمات او الطیور هدفاً أو طعاماً او أعظم (اکبر دالة هدف)، عندئذٍ ینقل المعلومات على الفور إلى کل الجسیمات او الطیور الأخرى.
2) جمیع الجسیمات او الطیور الأخرى تنجذب إلى الهدف أو الطعام (أو الحد الأقصى لدالة الهدف) ولکن لیس مباشرة.
3) هناک مّکون من التفکیر المستقل الخاص لکل طائر فضلا عن اعتماده على الذاکرة السابقة له. وبالتالی فأن النموذج یحاکی البحث العشوائی فی مساحة التصمیم للحصول على أقصى قیمة من دالة الهدف. على هذا النحو وبشکل تدریجی تستخدم العدید من التکرارات فی هذه المحاولة، وعندها الجسیمات او الطیور تذهب إلى الهدف ( أو الحد الأکبر من دالة الهدف).
4-1آلیة عمل امثلیة سرب الجسیمات (PSO)Particle Swarm Optimization Method
لتکن لدینا مسألة تعظم قیمة لـ(دالة الهدف) وبقیود غیر مشروطة، اذ ان الحد الاعظم Maximize لدالة الهدف بمدى عندما یشیر و الى الحد الادنى والحد الاعلى على التوالی بالنسبة للمتغیر ، عندئذ یمکن تنفیذ هذه الخوارزمیة من خلال الخطوات الاتیة [11]:
1) نفترض أن عدد الجسیمات (حجم السرب) یتمثل بالرمز ، ولتقلیل العدد الکلی لتقدیرات الدالة اللازمة لإیجاد حل یتوجب علینا أن نفترض ایضاً حجم أصغر من عدد الجسیمات بحیث یکون صغیر جدًا. أن من المحتمل الوصول إلى أطول حل او فی بعض الحالات قد لا نستطیع التوصل إلى حل على الإطلاق، وعادةً ما یفترض ان یکون حجم الجزیئة من 20 إلى 30 جزیئة للسرب کحّل وسطی فی حالة جعل السرب یکون مرناً.
2) تولید مجتمع اولی (ابتدائی) بصورة عشوائیة لقیم فی المدى و أی ، ولسهولة الحساب نعتبر الجسیمات هی الموقع والمقدرة فی التکرار تشیر الى سرعتها فی التکرار و على التوالی، لذلک تعتبر الجزیئات المتولدة بصورة اولیة والتی تشیر لقیم وان المتجهات التی تتمثل تُعرف بمحاور الجسیمات وهی تکون مشابهة لعمل الکروموسومات فی الخوارزمیات الجینیة. ان عملیة تقدیر دالة الهدف للقیم المقابلة للجسیمات یکون بالشکل الاتی:
3) ایجاد سُرع الجسیمات، اذ تتحرک جمیع الجسیمات الى النقطة المثلى بسرعة معینة وفی البدایة تکون جمیع سُرع الجسم افتراضیة وتعطى لها قیمة صفریة، اذ نضع رقم تکراری عندما .
4) فی من التکرارات، یتم تقدیر المعّلمات والبالغ عددها 2 والتی تستخدم بواسطة جسیم نموذجی (تجریبی) والمتمثل بـ عندها یتم الآتی:
… (17)
: تقومان بتکوین افراد متقاربین بحیث یعملان عمل الکروب الجماعی او یعتبران عنصران من عناصر التدریب على التوالی.
: مقداران یتوزعان توزیع منتظم بأرقام عشوائیة فی المدى 1] ، [0.
ان المعّلمات تشیر الى العلاقة المهمة لذاکرة (الموقع) للجسیم نفسه الى ذاکرة (الموقع) للسرب، اذ ان القیم تکون عادة قیم مفترضة وقیمها تتمثل بالرقمین 1 و 2، لذا فان و تعتبران غیر مؤکدة للجسیمات التی سوف تکون اکبر هدف والتی تستغرق نصف الوقت.
… (18)
اذ یتم افتراض خطوة زمنیة للوحدة فی مدى السرعة فی المعادلة (18) أعلاه لتقییم دالة الهدف المقابلة للجسیمات .
4-2 تحسین طریقة امثلیة سرب الجسیمات: Improvement to the Particle Swarm Optimization Method:
لقد وجُدّ بأن سرعات الجسیمات تتراکم بسرعة أکبر من الحد الأعلى بحیث تتخطى دالة الهدف. وبالتالی یضاف مصطلح القصور الذاتی (التعطیل) لتقلیل السرعة. عادةً قیمة المُفترضة تتغیر خطیًا من 0.9 إلى 0.4 کعملیة تکراریة متقدمة. یُفترض أن سرعة الجسیم j ، مع مصطلح القصور الذاتی θ، تعطى بالمعادلة الاتیة [11]:
ان وزن القصور الذاتی الأصلی الذی قدمه العالم Shi and Eberhart فی عام 1999 یؤدی إلى إخماد السُرع بمرور الوقت (أو التکرارات)، مما یُمّکن السّرب من الالتقاء أکثر بدقة وفاعلیة مقارنة مع خوارزمیة PSO الأصلیة فی المعادلة (17). وتشیر المعادلة (19) إلى صیاغة سرعة التکّیف، مما یُحّسن من ظهورها وضبط قدرتها فی حل البحث. بالاضافة الى انها توضح أن أکبر قیمة لـ تعزز الفحص الشامل اما أصغر قیمة فهی تعزز البحث الموقعی. وبالتالی فأن القیمة الکبیرة لـ تجعل الخوارزمیة من استکشاف مواقع جدیدة بأستمرار دون الکثیر من البحث المحلی وبالتالی الفشل فی العثور على الحل الامثل الصحیح. لتحقیق التوازن بین الاستکشاف الشامل والمتخصص لتسریع التقارب إلى الحل الأمثل الحقیقی، نستخدم وزن القصور الذاتی الذی تنخفض فیه القیمة خطیًا باستخدام عدد من التکرارات وکما فی الصیغة الاتیة:
… (20)
حیث ان:
و : تمثل القیم الأولیة والنهائیة لوزن القصور الذاتی على التوالی.
: یمثل الحد الأعلى لعدد التکرارات المستخدمة فی PSO.
وتم ملاحظة ان القیم و تستخدم بشکل واسع لدى الباحثین.
یعد MPE احد المعاییر المهمة من معاییر قیاس جودة التوفیق (Goodness of fit)، اذ تم استخدام هذا المعیار فی هذا البحث للمقارنة بین طریقتی الامکان الاعظم وطریقة PSO لتقدیر معلمات عملیة Cox، ویهتم هذا المعیار بالتراکیب الفردیة لمجموعة البیانات [9]:
… (21)
ویعرف معیار MPE بالصیغة الاتیة :
… (22)
تعد عملیة Cox عملیة غیر متجانسة وذلک لان المعدل الزمنی لحدوث الحوادث یتغیر بتغیر الزمن ، أی أنها تتأثر بالزمن فی سلوکها، ومن الملاحظ أن المعلمة مقترنة بالزمن t ، وبذلک فإن عملیة Cox تکون متجانسة فی حالة ، وغیر متجانسة فی حالة ، ولإجراء عملیة الاختبار فیما إذا کانت العملیة متجانسة أم غیر متجانسة فیتم اختبار الفرضیة الآتیة [1]:
وان المختبر الاحصائی المستخدم لأختبار الفرضیة اعلاه هو:
… (23)
اذ ان:
: تمثل مجموع اوقات حدوث الحوادث للفترة الزمنیة
n : تمثل عدد الحوادث التی تحدث فی للفترة الزمنیة
یعد معمل سمنت بادوش الجدید فی محافظة نینوى احد اهم المعامل التابعة للشرکة العامة لاسمنت الشمالیة والذی یمثل مصدر مهم ورئیسی لانتاج مادة السمنت لمحافظات العراق عموماً ومحافظة نینوى خصوصاً، اذ تم اعتماد فترات التشغیل المتتالیة بین توقفین متتالین لطاحونة المواد الاولیة لمعمل السمنت بالایام خلال الفترة من 1/4/2018 الى 31/1/2019.
7-1 اختبار تجانس البیانات قید الدراسة:
تم اختبار تجانس البیانات قید الدراسة باستخدام المختبر الاحصائی فی الصیغة (23)، وباستخدام البرنامج المعد لهذا الغرض باللغة البرمجیة MATLAB/R2017b تم الحصول على القیمة المحسوبة ( )، وهی اکبر من القیمة الجدولیة المقابه لها (1.96) عند مستوى معنویة 0.05، وعلیه تم رفض فرضیة العدم وقبول البدیلة ای ان العملیة قید الدراسة غیر متجانسة.
7-2 تقدیر معلمات عملیة Cox لفترات تشغیل طاحونة المواد الاولیة:
لغرض تقییم اداء طریقةPSO الذکائیة فی تقدیر معلمات عملیة Cox، تم تقدیر معلمات العملیة قید الدراسة باستخدام الطریقة المقترحة PSO للتقدیر ومقارنتها مع الطریقة التقلیدیة والمتمثلة بطریقة الامکان الاعظم. اذ تم تقدیر معلمات عملیة Cox لفترات تشغیل طاحونة المواد الاولیة لمعمل سمنت بادوش الجدید، وتم اعداد برامج بأستخدام اللغة البرمجیة MATLAB/R2017b لکتابة الخوارزمیات الخاصة بکل طریقة وکما فی الجدول التالی:
جدول (1): مقدرات معلمات عملیة Cox لفترات التشغیل بالأیام لطاحونة المواد الاولیة.
|
Parameters Estimation |
Methods |
|
|
0.0018 |
-1.0181 |
MLE |
|
0.0165 |
0.5424 |
PSO |
الجدول (1) یوضح مقدرات معلمات عملیة Cox لفترات التشغیل بین توقفین متتالین بالأیام لطاحونة المواد الاولیة باستخدام طرائق التقدیر المقترحة للاستخدام فی البحث، علماً انه تم اجراء عدة تجارب فی تقدیر معلمات العملیة قید الدراسة باستخدام طریقة PSO من خلال اعطاء قیم اولیة (ابتدائیة)، وتم الاستنتاج بان افضل قیم مقدرة للمّعلمتین و تم الحصول علیهما بالاعتماد على القیم الاتیة:
t = [3 8 2 4 1 1 2 3 1 1 1 1 3 2 3 1 1 1 2 3 5 6 5 2 1 1 4 1 4 3 1 3 1 1 7 2 5 1 2 1 1 3 3 1 6 1 2 3 3 1 3 2 1]
لغرض المقارنة بین الطرائق المستخدمة لتقدیر معلمات عملیة Cox، تم استخدام معیار خطأ النسبة الاعظم MPE حسب الصیغة (22)، وباستخدام البرنامج المعد لهذا الغرض باللغة البرمجیة MATLAB\R2017b تم الحصول على العدد المتوقع لفترات التشغیل المتتالیة بین توقفین متتالین لطاحونة المواد الاولیة لمعمل سمنت بادوش الجدید خلال الفترة الزمنیة قید الدراسة، وتم حساب معیارMPE بین القیم الحقیقیة والقیم المقدرة للمعدل الزمنی لتوقف المعمل، وکما فی الجدول التالی:
جدول (2): قیم MPE للطرائق المستخدمة لتقدیر معلمات عملیة Cox.
|
MPE |
Methods |
|
0.9972 |
MLE |
|
0.7547 |
PSO |
یلاحظ من الجدول (2) ان قیمة خطأ النسبة الاعظم MPE لمقدرات طریقة PSO اقل من قیمة خطأ النسبة الاعظم لطریقة الامکان الاعظم فی التقدیر، ممایدل على کفاءة الطریقة الذکائیة فی تقدیر معلمات عملیة Cox. والشکل التالی یمثل دالة عملیة Cox المقدرة باستخدام طرائق التقدیر التقلیدیة والذکائیة المستخدمة فی البحث مقارنةً مع القیم التراکمیة الحقیقیة التی تمثل فترات التشغیل المتتالیة بین توقفین متتالین لطاحونة المواد الاولیة لمعمل سمنت بادوش الجدید:
الشکل(1): الدوال المقدرة للعدد المتراکم لفترات التشغیل المتتالیة بین توقفین متتالین لطاحونة المواد الاولیة لمعمل سمنت بادوش الجدید باستخدام طرائق التقدیر.
باستخدام طرائق التقدیر لفترات التشغیل بین توقفین بالایام لبیانات البحث فی الشکل (1)، تم ملاحظة ان طریقة PSO کانت الاقرب الى البیانات الحقیقیة، مما یدل على کفاءة هذه الطریقة فی التقدیر مقارنة مع طریقة الامکان الاعظم لبیانات البحث.
تم فی هذا البحث التوصل الى بعض الاستنتاجات والتوصیات التی یمکن ادراجها بالنقاط الاتیة:
a) من خلال استخدام اختبار التجانس لعملیة Cox لفترات تشغیل طاحونة المواد الاولیة لمعمل سمنت بادوش الجدید، تم ملاحظة ان العملیة غیر متجانسة.
b) تم الاستنتاج بأن تقدیر معلمات عملیة Cox بالطریقة الذکائیة والمتمثلة بطریقة (PSO) هی افضل من الطریقة التقلیدیة والمتمثلة بطریقة الامکان الاعظم للتقدیر، وذلک لأنها اعطت اقل قیمة لمعیار خطأ النسبة الاعظم (MPE) وبأقل وقت وجهد.
c) ان قیم المعلمات و المقدرة فی طریقة PSO تم الحصول علیهما فی البرنامج المعد لهذا الغرض عند التکرار (25) وهی تمثل بذلک سرعة کبیرة واختصاراً للوقت مقارنة مع طریقة الامکان الاعظم التی تمثل وقتاً اطول.
مما تقدم یمکن إعطاء التوصیات الاتیة:
a) نوصی بأعتماد خوارزمیة PSO فی تقدیر المعدل الزمنی لعملیة Cox وذلک لکفاءتها وسرعتها فی التقدیر.
b) نوصی بأستخدام خوارزمیات اخرى کطریقة ذکائیة لتقدیر معلمات عملیة Cox.
c) نوصی باستخدام مقدرات خوارزمیة PSO لتقدیر معلمات عملیات تصادفیة اخرى وذلک لکفاءتها فی التقدیر.
1- Jaafar, Ayat Sadiq, (2016) “Bayesian and traditional methods for estimating the parameters of some heterogeneous Poisson models with practical application - a comparative research”, an unpublished Master of Science thesis in statistics, College of Administration and Economics, University of Baghdad.
2- Al-Khayyat, Basil Younes, and Suleiman, Muthanna Sobhi, (2007), “Statistical Analysis of the Heterogeneous Poisson Process with Application”, Future Research Journal, Issue (17), pp. (133-153), Iraq.
3- Noman, Inam Abdel Rahman (2012), “Designing acceptance sampling plans for the General Company for Electronic Industries using the general exponential distribution,” PhD thesis in statistics, College of Administration and Economics, University of Baghdad.
4- Naima, Ali Bandar, (2009), “Comparison of ML&WLS estimates for some models of heterogeneous Poisson processes”, unpublished Master of Science thesis in Statistics, College of Administration and Economics, University of Baghdad.
5- Basawa, I. V., and Prakasa Rao, B. L. S. (1980),"Statistical Inference for Stochastic Processes". Academic Process, London.
6- Burr, D. (1994),"On inconsistency of Breslow's estimator as an estimator of the hazard rate in the Cox model". Biometrics 50, 1142-1145.
7- Cox, D. R., and Lewis, P. A. (1966),"Statistical Analysis of Series of Events". Chapman and Hall, London, United Kingdom.
8- Erkanli, A., Merrick, J. R. and Soyer, R., (2002), "Parametric and semi-parametric Bayesian models for accelerated life tests". Journal of Computational and Graphical Statistics, Institute of Mathematical Statistics, Vol. 11, No. 2, PP. 289–305. USA.
9- Leemis, L. M. (1991), "Non parametric estimation of the cumulative intensity function for a non-homogeneous Poisson process". Management Science, 37(7), 886-900.
10- Silvey, S. D. (1975),"Statistical Inference". Chapman and Hall, London.
11- Soyer, R. and Tarimcilar, M.M.,(2005)," Modeling and Analysis of Call Center Arrival Data: A Bayesian Approach", Department of Management Science, The George Washington University, Washington, DOI: 10.1287/ mnsc.1070.0776 . Source: DBLP, Monroe Hall 403,Vol. 40, pp. 1-25,USA.
)
