Abstract
In this research, the transfer function models were diagnosed based on seasonal data represented by solar brightness as inputs and temperatures as outputs, where a double seasonal model was obtained which was used in diagnosing the transfer function models as well as diagnosing the output error models represented by the (OE) model and the (BJ) model and compared the results. Finding that the dynamic systems give a better diagnosis than the transfer function models, depending on some statistical criteria
Keywords
Main Subjects
Highlights
Full Text
یعتبر موضوع تحلیل السلاسل الزمنیة Time Series Analysis من المواضیع الإحصائیة المهمة والأساسیة لکونها تستحوذ على اهتمام الکثیر من متخذی القرارات فی مختلف الاختصاصات.
ان نموذج السلسلة الزمنیة یعتمد بالدرجة الأولى على عنصر الزمن کعامل مستقل لتحدید وتفسیر الظاهرة المدروسة واستعمال قیم المتغیر التابع لفترات سابقة أی سلوک هذا المتغیر فی الماضی، وان نموذج السلسلة الزمنیة الذی یحوی على متغیر واحد یدعى بنموذج سلسلة زمنیة ذی متغیر واحد، تستخدم فیه البیانات الحالیة والسابقة عن متغیر واحد فقط، أما نموذج السلسلة الزمنیة الذی یستخدم متغیرات اخرى لوصف سلوک السلسلة الزمنیة فیدعى بنموذج السلسلة الزمنیة المتعدد المتغیرات [11].
یهدف البحث الى تشخیص نموذج دالة التحویل لعناصر المناخ من خلال ادخال منفرد واخراج منفرد. وتشخیص نماذج النظم الدینامیکیة بمعلمات مختلفة لنماذج خطأ المخرجات والمتمثلة بنموذج (OE) ونموذج (BJ) ومن ثم مقارنة النتائج من خلال بعض المعاییر الإحصائیة.
ان تطویر النماذج الریاضیة یعتبر أول خطوة فی التصمیم ویعد الخطوة الحاسمة لتصمیم ای نظام لتطویر نموذج ریاضی للنظام المراد السیطرة علیه، اذ ان الاهتمام بالجانب الإحصائی یهتم بالدرجة الاساسیة على نماذج دالة التحویل التی تتضمن مدخلا واحدا ومخرجا واحدا عندئذ تسمى بنماذج دالة التحویل أحادیة المتغیر(univariate) وقد تتضمن نماذج دالة التحویل مخرجا واحدا وعددا من المدخلات وایضا قد تتکون نماذج دالة التحویل من عدد من المخرجات وعدد من المدخلات عندئذ تسمى بنماذج دالة التحویل متعددة المتغیرات[5]، یمکن کتابة صیغة دالة التحویل کالآتی[9]:
... (1) |
إذ ان:
: تمثل الحد الثابت. : تمثل سلسلة المدخلات ، : تمثل سلسلة المخرجات، : تمثل حد الازعاج.
اذ ان تشیر الى دالة التحویل الخاصة بنماذج بوکس-جنکنز ای ان تمثل أوزان الاستجابة النبضیة.
4. دالة الاستجابة النبضیة Impulse Response Function
تعتبر دالة الاستجابة النبضیة مؤشر للعلاقة بین المدخلات والمخرجات، وان اوزان نبضات الاستجابة تمثل الأثر الذی یحدث فی سلسلة المخرجات نتیجة لتغیر سلسلة المدخلات بوحدة واحدة، إذ یمکن کتابة دالة الاستجابة النبضیة لتوزیع الإزاحات الخطیة فی شکل عامل الإزاحة الخلفی من خلال تعریف فأن:
... (2) |
ویطلق على مجموع أوزان الاستجابة النبضیة أسم عائد حالة الاستقرار (Steady State Gain)، إذا تحقق الشرط الاتی:
... (3) |
إذ أن:
: تمثل التغیر الکلی (التغیر المتراکم على مر الزمن) فی سلسلة المخرجات الناتج من تغیر سلسلة المدخلات بوحدة واحد [4] [12].
5.زمن التأخیرDelay Tim
یمثل التخلف الزمنی العادی الذی یحدث فی المخرجات Yt نتیجة للتغیر الذی حدث فی المدخلات Xt ،عادة یشار الى زمن التأخیر بالرمز b،إذ إن b عدد صحیح موجب وفی بعض الأحیان یسمى بالزمن المیت(Dead Time) وبإمکاننا إیجاد قیمة bعند رسم الارتباط المتقاطع بین سلسلة المدخلات Xt وسلسلة المخرجات Yt حیث ان اول قیمة معنویة تقع خارج فترة الثقة تمثل زمن التأخیر b، ویعد تقدیر زمن التأخیر متطلبا أساسیا یجب تقدیره قبل البدء بتحدید النموذج المناسب الذی یمثل النظام أو العملیة، حیث یکون زمن التأخیر ذا تأثیر مباشر فی عملیة تحدید النموذج الذی یصف النظام بصورة دقیقة ویوضح ألیة عمل النظام [3] [12].
6. أسلوب بوکس_ جنکنز فی تحلیل نماذج دالة التحویل Box-Jenkins Methodology in Transfer Models Analysis
هناک ثلاث مراحل لبناء نموذج دالة التحویل، من خلال الخوارزمیة التی وضعها Box-Jenkins فی بناء السلسلة الزمنیة، وبالاعتماد على معلومات سلسلة المدخلات والمخرجات على التوالی، إذ یمکن تلخیص هذه المراحل بما یأتی:
الخطوة الأولى فی بناء نموذج Box Jenkins هی فحص سلسلة المدخلات والمخرجات من حیث استقراریة السلسلة فی الوسط والتباین، بعد التأکد من استقراریة السلسلة تبدأ مرحلة تشخیص النموذج والمتمثلة بالخطوات الأتیة [9]:
یتم تقدیر أوزان دالة التحویل عن طریق :
أ. دالة الارتباط المتقاطع Cross Correlation Function
ب. دالة التحویل الخطیة Linear Transfer Function Method(LIF)
بعد تقدیر أوزان دالة التحویل یتم حساب رتب(r,s,b) لنموذج دالة التحویل أی حساب النسبة کما یلی:
... (4) |
حیث(b) تمثل زمن التأخیر فی الاتجاه الموجب لدالة الارتباط الذاتی وهو الزمن الذی تنعدم عنده معنویة الارتباطات بدالة الارتباط التقاطعیة، (s) تمثل رتبة بسط دالة التحویل، (r) تمثل رتبة مقام دالة التحویل ویتم تحدیدهما من خلال الارتباطات التقاطعیة المعنویة بدالة الارتباط التقاطعیة (Cross Correlation Function) للسلاسل المفلترة.
بعد تقدیر أوزان دالة التحویل الخطوة التالیة هی تحدید نموذج ARMA المناسب لحد الازعاج ، ویجب حساب القیم التقدیریة لسلسلة الإزعاج ، من خلال النموذج الاتی [6] [12]:
... (5) |
وان النموذج الملائم یمکن تحدیده من خلال فحص دالة الارتباط الذاتی ACF ودالة الارتباط الذاتی الجزئیPACF لسلسلة الإزعاج للحصول على:
... (6) |
... (7) |
وفی حالة اذا کانت سلسلة الازعاج تتبع نموذج SARMA الموسمی المضاعف، یمکن الحصول على سلسلة البواقی التی تمثل حد الازعاج ویعبر عنها کالاتی:
بعد ان تم التعرف على شکل نموذج دالة التحویل وتحدید نموذج الازعاج، یتم فی هذه الخطوة تقدیر جمیع المعلمات الموجودة فی النموذج الاتی [1] [2]:
... (8) |
بعد أن تم تحدید شکل نموذج دالة التحویل وتقدیر جمیع معلماته، لابد من اختبار النموذج ویتم عن طریق، اختبار دالة الارتباط الذاتی ودالة الارتباط الذاتی الجزئی لسلسلة البواقی یجب أن تکون عملیة حد الازعاج، فأن جمیع الارتباطات الذاتیة لها یجب أن تکون غیر معنویة، بمعنى ان جمیع الارتباطات الذاتیة والذاتیة الجزئیة تقع داخل حدود الثقة، کذلک یجب اختبار دالة الارتباط المتقاطع بین سلسلة البواقی وسلسلة المدخلات التی اجری لها إعادة التبیض ،فالتحقق شرط استقلالیة السلسلتین یکون من خلال عدم معنویة الارتباطات المتقاطعة بین السلسلتین کافة، واذا لم یتحقق ذلک فیجب اعادة صیاغة النموذج وذلک بتشخیص نموذج اخر[4] [9].
7. النظم الدینامیکیة Dynamic Systems
یعرف النظام بأنه تفاعل مجموعة من المتغیرات المختلفة التی تنتج اشارات واضحة وهذه الاشارات قد تکون ذات فائدة وتوصف بالمخرجات (output). فضلا عن ذلک یتأثر النظام بمؤثرات خارجیة تعالج من قبل المستخدم وتوصف بالمدخلات (input). ومنها اشارات خارجیة غیر مسیطر علیها وتوصف بالاضطرابات او الازعاجات (disturbance). ویتم تصنیف الاضطرابات الى صنفین حیث بعضها یقاس بصورة مباشرة وبعضها الاخر یلاحظ فقط من خلال تأثیرها على المخرجات [8].
8. طرق تقدیر زمن التأخیر فی النظم الدینامیکیة
یوجد عدد من الطرق لتقدیر زمن التأخیر فی النظم الدینامیکیة منها:
3. استخدام نماذج الانحدار الذاتی بمدخلات اضافیة Autoregressive with Exogenous in puts Models (ARX)
9. نماذج النظم الدینامیکیة Dynamic System Models
یترکب النموذج الدینامیکی العام General Dynamic Model الذی تشتق منه کل النماذج الدینامیکیة Dynamic Model والذی غالبا لا یطبق عملیا لأنه یمثل الهیکلیة الموحدة للأنظمة الدینامیکیة حیث یتم حساب المخرجات للنظام الدینامیکی عند الزمن من خلال ترشیح المدخلات بمرشح خطی یرمز له G(B) والذی یسمى بالجزء المحدد ویسمى أیضا بدالة تحویل المدخلات Input Transfer Function، فضلا عن ترشیح حد الازعاج الذی یرمز له بمرشح خطی أخر یرمز له بــ ویسمى بدالة تحویل الازعاجNoise Transfer Function ویسمى بالجزء الدینامیکی، علیه یمکن تمثیل النموذج الخطی العام بالجزئین المحدد والدینامیکی بالشکل الاتی:
... (9) |
ویمکن تمثیل هذا النموذج من خلال متعددات الحدود وهی تراکیب دینامیکیة Dynamic Combination کالاتی:
... (10) |
إذ ان:
... (11) |
وأن (nf, nd,nc,nb,na) عدد معلمات متعددات الحدود ,C(B),B(B),A(B) F(B),D(B)على التوالی، وان یمثل عامل الازاحة الخلفی Backword shift بمعنى
وتقسم نماذج النظم الدینامیکیة الى قسمین:
… (12) |
تضم نموذج الانحدار الذاتی مع مدخلات اضافیة ARX ونموذج الانحدار الذاتی والمتوسطات المتحرکة مع مدخلات اضافیة ARMAX، ویمکن تمثیل نموذج ARX بالشکل الاتی:
… (13) |
أما نموذج ARMAX فیمکن تمثیله بالشکل الاتی:
تشمل کل من نموذج خطأ المخرجات output error ویرمز له بالرمزOE ونموذج بوکس_جنکنز Box Jenkins ویرمز له بالرمز BJ، وتتمیز هذه النماذج بوجود نموذج الازعاج الذی لا یحوی على عملیة دینامیکیة وبذلک فأن من المفترض أن یؤثر حد الازعاج على مخرجات العملیة مباشرة، بمعنى أخر ان نماذج خطأ المخرجات تتمیز بأن نموذج حد الازعاج فیها مستقل عن نموذج العملیة المحددة ویمکن تمثیل نموذج خطأ المخرجاتOE بالصیغة الاتیة [10]:
… (14) |
… (15) |
أما نموذج بوکس-جنکنز فیمکن تمثیله بالصیغة الأتیة:
10. المعاییر الإحصائیة لاختیار أفضل نموذج
فی تحلیل السلسلة الزمنیة قد تکون هناک نماذج عدیدة یمکن ان تستخدم فی تمثیل مجموعة من البیانات وان اختیار أفضل نموذج یمثل البیانات یعتمد على خبرة الباحث ویمکن اعتبار المعاییر الإحصائیة لاختیار أفضل نموذج أداة مفیدة جدا فی هذا الاختیار ومن هذه المعاییر:
… (16) |
یستخدم هذا المعیار للمفاضلة بین النماذج واختیار أحدها لتمثیل حد الإزعاج حیث یتم حساب قیمة AIC للنماذج التی اجتازت الفحوص التشخیصیة ومن ثم اختیار النموذج ذو أقل قیمة AIC لیکون النموذج الأفضل، الصیغة العامة لهذا المعیار کالاتی [9] [10]:
إذ ان: : عدد المعلمات المقدرة فی النموذج، : تباین الخطأ.
… (17) |
یعد من المعاییر المهمة فی تحدید الرتبة المناسبة للنموذج، ویحسب بالصیغة الاتیة[7]:
إذ ان: : تباین الخطأ، : عدد المشاهدات، : عدد المعلمات المقدرة فی النموذج.
3. دالة الخسارة:Loss Function
… (18) |
تعرف فی بعض الأحیان بدالة الکلفة cost Function حیث تعد المتطلب الأساس الأفضل فی اختیار رتبة النموذج من خلال ملاحظة سلوک هذه الدالة مع زیادة رتبة النموذج وتحسب بالصیغة الاتیة:
إذ ان: : دالة الکلفة، : عدد المشاهدات.
وهو مقیاس لمعرفة دقة النموذج کنسبة مئویة وتحسب هذه النسبة بالصیغة الاتیة [8]:
… (19) |
إذ ان: : قیم المخرجات الحقیقیة، : القیم التقدیریة المکونة من النموذج
: الوسط الحسابی لمشاهدات سلسلة المخرجات المستخدمة فی تکوین النموذج.
11. الجانب التطبیقی
فی هذا البحث تم استخدام بیانات مناخیة والتی یتم تهیئتها وهی التی تمثل المدخلات (السطوع الشمسی) والمخرجات )درجة الحرارة العظمى) وتتضمن 264 مشاهدة من المدخلات والمخرجات ویمکن تمثیل سلسلة بیانات المدخلات والمخرجات بالشکلین (1) و(2) الاتیین:
نلاحظ من الشکلین (1) و(2) عدم استقراریة السلسلتین إذا تم اخذ الفرق الموسمی للسلسلتین لجعلها مستقرة موسمیا وکما موضح بالشکلین (3)و(4)الآتیین:
بعد تهیئة سلسلتی المدخلات والمخرجات یتم تنقیتهما، إذ یتم تنقیة سلسلة المدخلات من خلال تحدید النموذج الملائم لها للحصول على سلسلة البواقی، وذلک بملاحظة سلوک دالتی الارتباط الذاتی والذاتی الجزئی، وبعد استقراریة السلسلة إذ تبین ان السلسلة المستقرة تتبع نموذج
SARIMA (1,0,0) (0,0,1)12الذی یمتلک اقل MSE وتساوی 0.699)) وان القیمة التقدیریة للمعلمتین هما: ولغرض فحص مدى ملائمة النموذج فقد تم فحص البواقی (Residuals) من خلال رسم دالة الارتباط الذاتی لبواقی المدخلات ودالة الارتباط الذاتی الجزئی لبواقی المدخلات الموضحة فی الشکلین (5)و(6) الاتیین:
وبتطبیق النماذج الدینامیکیة نماذج خطأ المخرجاتBJ,OE تم توفیق العدید من النماذج بمعلمات متعددة ومختلفة لکل نموذج من النماذج الدینامیکیة واختیار افضل نموذج حسب المعاییر الإحصائیة AIC,FPE,LOSS Function لنماذج خطأ المخرجات المتمثلة بنموذج BJ ونماذج دالة التحویل إذ نلاحظ من الجدول(1) إن التشخیص باستخدام نموذج BJ یعطی نتائج افضل من التشخیص باستخدام نموذج دالة التحویل، إذ ان قیمة AIC)) لنموذج BJ اقل من قیمتها فی نموذج دالة التحویل، کذلک فأن قیمة خطأ التنبؤ النهائی لاکاکی (FPE) فی نموذج BJ اقل من قیمتها فی نموذج دالة التحویل، کذلک فأن قیمة متوسط مربعات الخطأ (MSE) لنموذج BJ أقل من قیمتها فی نموذج دالة التحویل.
جدول (1 ): قیم المعاییر الاحصائیة لنموذج BJ ونموذج دالة التحویل
التشخیص باستخدام نموذج BJ |
التشخیص باستخدام نموذج دالة التحویل |
النموذج |
||||
MSE |
FPE |
AIC |
MSE |
FPE |
AIC |
|
4.14 |
4.812 |
1.570 |
4.513 |
6.719 |
2.5664 |
X |
12. الاستنتاجات
من ملاحظة النتائج فی الجدول (1) تبین ان نموذج (BJ) الذی یصف العلاقة بین متغیر الأخراج (y) الذی یمثل درجة الحرارة العظمى ومتغیر الأدخال (x) الذی یمثل السطوع الشمسی أعطى قیما للمعاییر الإحصائیة اقل مما هی علیه فی نموذج دالة التحویل.